Berapakahbanyak fungsi yang mungkin terjadi untuk fungsi berikut? Di ketahui fungsi f:x→x+4 dari himpunan P={−3, −2, −1, 0} ke himpunan bilangan cacah. Tentukan domain, kodomain, dan range dari fungsi tersebut. 169. 5.0. Jawaban terverifikasi. Relasi berikut yang merupakan pemetaan adalah . 10rb+ 2.0. Jawaban terverifikasi. b Sebutkan tiga saja himpunan pasangan berurutan yang merupakan korespondensi satu-satu dari P ke Q a. Berapakah banyak semua korespondensi satu satu yang mungkin terjadi dari P ke Q? Jawab : n(P) = 6 dan n(Q) = 6 maka banyak semua korespondensi satu satu yang mungkin terjadi dari P ke Q = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 b. Bab11. Persamaan Diferensial Parsial. Persamaan diferensial parsial dijumpai dalam kaitan dengan berbagai masalah fisik dan geometris bila. fungsi yang terlibat tergantung pada dua atau lebih peubah bebas. Tidak berlebihan jika dikatakan bahwa. hanya sistem fisik yang paling sederhana yang dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial biasa. Vay Tiền Trả Góp 24 Tháng. Dalam tulisan ini, kita akan menentukan banyaknya fungsi surjektif atau fungsi onto yang mungkin dari suatu himpunan A ke himpunan B. Namun, sebelum itu, kita perlu mengetahui definisi fungsi fungsi $fA \rightarrow B$ disebut fungsi surjektif, jika untuk setiap $b \in B$ terdapat $a \in A$ sedemikian sehingga $fa=b$. Dengan kata lain, $f$ disebut fungsi surjektif, jika daerah hasil range $f$ sama dengan kodomainnya, yaitu himpunan $B$.Selain itu, kita perlu tahu bagaimana menentukan banyaknya fungsi yang mungkin dari suatu himpunan ke himpunan lain. Misalkan $A$ dan $B$ adalah dua himpunan berhingga dengan $A=\{ x_1,x_2, \cdots ,x_m \}$ dan $B=\{ y_1,y_2, \cdots ,y_n \}$. Misalkan pula $f$ adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B. $f$ memetakan setiap anggota himpunan A ke tepat satu anggota himpunan $B$. Dalam bahasa yang lebih sederhana, setiap anggota $A$ dipasangkan dengan tepat satu anggota $B$ oleh fungsi $f$.$x_1 \in A$ dapat dipasangkan dengan satu anggota himpunan B, dari n anggota yang ada. $x_2 \in A$ dapat dipasangkan dengan satu dari n anggota himpunan B, termasuk anggota yang telah dipasangkan dengan $x_1$ Pada sebuah fungsi, anggota kodomain dapat berpasangan dengan lebih dari satu anggota domain. Begitu seterusnya sampai pada $x_m \in A$. Berdasarkan aturan perkalian, banyaknya fungsi yang mungkin adalah$$\underbrace{n \times n \times \cdots \times n}_{\text{sebanyak m}} = n^m$$Banyaknya Fungsi Surjektif yang Mungkin dari A ke BKita akan menggunakan prinsip inklusi-eksklusi untuk menentukan banyaknya fungsi surjektif yang mungkin. Untuk $1 \leq i \leq n$, misalkan $c_i$ menyatakan kondisi dimana daerah hasil fungsi tidak memuat $x_i$. $Nc_i$ menyatakan banyaknya fungsi yang tidak memuat $x_i$ pada daerah hasilnya. Fungsi surjektif adalah fungsi yang memuat $x_1$, $x_2$, $\cdots$, dan $x_n$ pada daerah hasilnya, sehingga banyaknya fungsi surjektif dinyatakan dengan $N\bar{c}_1,\bar{c}_2,\bar{c}_3,\cdots,\bar{c}_n$.Banyaknya fungsi dari A ke B adalah $n^m$, sehingga $N=S_0=n^m$. Selanjutnya, kita akan menentukan banyaknya fungsi yang tidak memuat $x_1$ pada daerah hasilnya, yaitu $Nc_1$. Ini sama saja dengan banyaknya fungsi yang mungkin dari $A$ ke $B-\{x_1\}$, yang beranggotakan $n-1$ objek. Banyaknya fungsi adalah $n-1^m$, sehingga $Nc_1=n-1^m$. Dengan cara yang sama, kita peroleh $Nc_1=Nc_2= \cdots =Nc_n=n-1^m$. Akibatnya$$\begin{aligned}S_1 &= Nc_1+Nc_2+ \cdots + Nc_n \\&= n-1^m + n-1^m + \cdots + n-1^m\end{aligned}$$Terlihat jelas, bahwa banyaknya suku pada ruas kanan adalah $n$. Namun, $n$ dapat dipandang sebagai banyaknya cara memilih satu anggota dari himpunan B, yaitu ${n \choose 1}$. Sehingga$$S_1 = nn-1^m = {n \choose 1} n-1^m$$Selanjutnya, kita menentukan banyaknya fungsi yang tidak memuat dua objek tertentu pada daerah hasilnya, misalnya $x_1$ dan $x_2$. $Nc_1c_2$ sama dengan banyaknya fungsi yang mungkin dari himpunan $A$ ke $B-\{x_1,x_2\}$, yaitu $n-2^m$. Secara umum, kita peroleh $Nc_pc_q=n-2^m$, untuk $1 \leq p \leq n$, $1 \leq q \leq n$, dan $p \neq q$.Akibatnya $S_2=n-2^m+n-2^m+ \cdots +n-2^m$. Banyak suku sama dengan banyaknya cara memilih dua objek untuk dikeluarkan dari daerah hasil $f$, yaitu ${n \choose 2}$. Sehingga$$S_2 = {n \choose 2} n-2^m$$Secara umum, untuk $1 \leq k \leq n$, berlaku$$S_k = {n \choose k} n-k^m$$Berdasarkan prinsip inklusi-eksklusi, diperoleh$$\begin{aligned}N\bar{c}_1,\bar{c}_2,\bar{c}_3,\cdots,\bar{c}_n &= S_0-S_1+S_2-\cdots+-1^nS_n \\&= n^m-{n \choose 1} n-1^m+{n \choose 2} n-2^m-\cdots+-1^n{n \choose n} n-n^m \\&= {n \choose 0}n^m-{n \choose 1} n-1^m+{n \choose 2} n-2^m-\cdots+-1^n{n \choose n} n-n^m \\&= \sum^n_{i=0} -1^i{n \choose i} n-i^m\end{aligned}$$Agar lebih mudah diingat, kita dapat menuliskan dalam bentuk$$N\bar{c}_1,\bar{c}_2,\bar{c}_3,\cdots,\bar{c}_n = \sum^n_{i=0} -1^i {n \choose n-i} n-i^m$$Hal ini dibolehkan, mengingat adanya identitas ${n \choose i}={n \choose n-i}$. Jadi, banyaknya fungsi surjektif dari $A$ ke $B$ adalah $\sum^n_{i=0} -1^i {n \choose n-i} n-i^m$.CATATANJika $A=m \leq n=B$, maka tidak ada fungsi surjektif dari $A$ ke $B$ Tahu alasannya?. Meskipun hal ini terjadi, ternyata rumus di atas masih tetap berlaku. Untuk $m \leq n$, kita akan memperoleh $N\bar{c}_1,\bar{c}_2,\bar{c}_3,\cdots,\bar{c}_n=0$.Contoh 1Tentukan banyaknya fungsi surjektif dari himpunan $A$ ke himpunan $B$, jika diketahui $A=5$ dan $B=3$.PembahasanBanyaknya fungsi surjektif $f \ A \rightarrow B$, dengan $A=5$ dan $B=3$ adalah$$\begin{aligned}\sum^3_{i=0} -1^i{3 \choose 3-i} 3-i^5 &= {3 \choose 3} 3^5 - {3 \choose 2} 2^5 + {3 \choose 1} 1^5 - {3 \choose 0} 0^5 \\&= 1 \cdot 243 - 3 \cdot 32 + 3 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \\&= 243 - 96 + 3 - 0 \\&= 150\end{aligned}$$Contoh 2Tentukan banyaknya fungsi surjektif $f$ dari $X$ ke $Y$, jika $X=\{a,b,c,d,e,f\}$, $Y=\{1,2,3,4\}$, dan $fa=1$.PembahasanFungsi $f$ harus memetakan $a \in X$ ke $1 \in Y$. $f$ adalah fungsi, sehingga a tidak boleh lagi dipetakan ke anggota $Y$ yang lain. Namun kita boleh memetakan anggota $X$ selain $a$ pada $1 \in Y$. Kita bagi menjadi dua 1 Tidak ada anggota $X$ selain $a$ yang dipetakan ke $1 \in Y$Banyaknya fungsi yang mungkin sama dengan banyaknya fungsi surjektif dari $X-\{a\}=\{b,c,d,e,f\}$ ke $Y-\{1\}=\{2,3,4\}$, yaitu$$\begin{aligned}\sum^3_{i=0} -1^i {3 \choose 3-i} 3-i^5 &= {3 \choose 3} 3^5 - {3 \choose 2} 2^5 + {3 \choose 1} 1^5 - {3 \choose 0} 0^5 \\&= 1 \cdot 243 - 3 \cdot 32 + 3 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \\&= 243 - 96 + 3 - 0 \\&= 150\end{aligned}$$KASUS 2 Ada anggota $X$ selain $a$ yang dipetakan ke $1 \in Y$Banyaknya fungsi yang mungkin sama dengan banyaknya fungsi surjektif dari $X-\{a\}=\{b,c,d,e,f\}$ ke $Y=\{1,2,3,4\}$, yaitu$$\begin{aligned}\sum^4_{i=0} -1^i {4 \choose 4-i} 4-i^5 &= {4 \choose 4} 4^5 - {4 \choose 3} 3^5 + {4 \choose 2} 2^5 - {4 \choose 1} 1^5 + {4 \choose 0} 0^5 \\&= 1 \cdot 1024 - 4 \cdot 243 + 6 \cdot 32 - 4 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\&= 1024 - 972 + 192 - 4 + 0 \\&= 240\end{aligned}$$Jadi, banyaknya fungsi surjektif $fX \rightarrow Y$ dengan $fa=1$ adalah $150+240=390$.Sebagai penutup, saya akan memberikan soal latihan untuk himpunan $X=\{a,b,c,d,e,f\}$ dan $Y=\{1,2,3,4\}$. Tentukan banyaknya fungsi surjektif $fX \rightarrow Y$, jika diketahui $fa=1$ dan $fb=2$. Dalam matematika, jika kita menyinggung topik tentang fungsi, pastilah komposisi fungsi tidak akan terlupa untuk dibahas. Komposisi fungsi adalah topik yang umum dipelajari pada mata kuliah Kalkulus I. Selain di jenjang kuliah, umumnya topik komposisi fungsi juga dipelajari pada kelas 10 SMA. Hanya saja, jika dibandingkan dengan jenjang SMA, topik komposisi fungsi pada jenjang perkuliahan terasa lebih sulit. Bisa jadi, hal tersebut dikarenakan topik komposisi fungsi pada jenjang perkuliahan sering melibatkan fungsi piecewise piecewise function. Di bawah ini adalah contoh fungsi piecewise. $fx = \begin{cases} x^2 & \text{,untuk } x\leq 0 \\ \frac{100-x}{100} & \text{,untuk } 0 1 ~~ x \in \mathbb{R} \}$. Langkah 4. Selidiki $\text{Domain}g$! Diketahui $ gx = \begin{cases} \sqrt{x} & \text{,untuk } x\geq 0 \\ & \\ \displaystyle \frac{1-x}{x} & \text{,untuk } x < 0 \end{cases}$. Fungsi $g$ tersebut merupakan fungsi piecewise. Untuk mempermudah penyebutan, fungsi piecewise tersebut kita pecah sebagai fungsi $g_1$ dan $g_2$ sebagai berikut. $g_1x = \sqrt{x}$, dan $g_2x = \displaystyle \frac{1-x}{x}$. Sehingga dengan demikian $ gx = \begin{cases} g_1x & \text{,untuk } x\geq 0 \\ & \\ g_2x & \text{,untuk } x < 0 \end{cases}$. Selanjutnya, kita akan menyelidiki fungsi $g_1$ dan $g_2$, seperti apakah sebetulnya mereka. 1. Selidik fungsi $g_1$. Diketahui $g_1x = \sqrt{x}$ dengan domainnya adalah $x\geq 0$. Sesuai definisi di atas, fungsi $g_1$ terdefinisi dengan baik. Untuk setiap $x\geq 0$, nilai $g_1x$ akan selalu $\geq 0$. 2. Selidik fungsi $g_2$. Diketahui $g_2x = \displaystyle \frac{1-x}{x} = \frac{1}{x} - 1$ dengan domainnya adalah $x < 0$. Sesuai definisi di atas, fungsi $g_2$ terdefinisi dengan baik. Untuk setiap $x < 0$, nilai $g_2x$ akan selalu $< 0$. Dari hasil penyelidikan di atas, diketahui bahwa fungsi $g_1$ dan $g_2$ terdefinisi dengan baik. Jadi, dapat disimpulkan bahwa $\text{Domain}g = \mathbb{R}$. Langkah 5. Selidiki apakah $\text{Range}f \subseteq \text{Domain}g$. Dari Langkah 3 di atas, kita mengetahui bahwa $\text{Range}f = -\infty, 1 \cup 1, \infty$. Dari Langkah 4 di atas, kita mengetahui bahwa $\text{Domain}g = \mathbb{R}$. Perhatikan bahwa $\text{Range}f = -\infty, 1 \cup 1, \infty = \mathbb{R} - \{1\}$. Jelas bahwa $\mathbb{R} - \{1\} \subset \mathbb{R}$. Dengan demikian berlaku $\text{Range}f \subset \text{Domain}g$. Dengan kata lain komposisi fungsi $g \circ f$ dapat dilakukan. Langkah 6. Konstruksi $\text{Domain}g \circ f$. Nah, bagian ini yang umumnya paling sering membuat bingung mahasiswa yang baru mempelajari Kalkulus I. Mari kita kerjakan secara pelan-pelan dan hati-hati supaya tidak salah. D Langkah 1 Karena yang "misi" kita adalah mengkonstruksi $\text{Domain}g \circ f$, maka pertama-tama kita harus mengamati fungsi $g$. Sebaliknya, jika "misi" kita adalah mengkonstruksi $\text{Domain}f \circ g$, maka pertama-tama kita harus mengamati fungsi $f$. Kembali ke "misi" utama kita sesuai pada soal. Kita akan mengkonstruksi $\text{Domain}g \circ f$. Oleh sebab itu, pertama-tama kita harus mengamati fungsi $g$. Ini adalah fungsi $g$ yang dimaksud. $gx = \begin{cases} g_1x = \sqrt{x} & \text{,untuk } x\geq 0 \\ & \\ \displaystyle g_2x = \frac{1-x}{x} & \text{,untuk } x < 0 \end{cases}$. Langkah 2 Selanjutnya, ajukan pertanyaan berikut. Apakah fungsi $g$ adalah fungsi piecewise? Jawabannya jelas adalah YA. Fungsi $g$ merupakan fungsi piecewise dengan 2 subfungsi, yaitu $g_1$ dan $g_2$. Selanjutnya, kita akan menyelidiki domain-domain subfungsi dari fungsi $g$, yaitu $g_1$ dan $g_2$. Langkah 3 Kita mulai dengan menyelidiki domain dari fungsi $g_1$. $g_1x = \sqrt{x} ~\text{, untuk } x\geq 0$ Ajukan pertanyaan ini. Untuk $\alpha \in \text{Domain}f$ apa sajakah yang menyebabkan $f\alpha \geq 0$? Perhatikan bahwa syarat kondisi $f\alpha \geq 0$ adalah sesuai dengan syarat domain $g_1$ yaitu $x \geq 0$. Kita lihat lagi grafik fungsi $f$ berikut. Perhatikan bagian kurva yang berwarna merah. Dari bagian yang berwarna merah di atas terlihat bahwa jika $\alpha$ berada di interval $-\infty, -2$ dan $[3, \infty$ akan menyebabkan $f\alpha \geq 0$. Karena $\displaystyle fx = \frac{x-3}{x+2}$ bukan fungsi piecewise, maka dengan demikian, $\displaystyle g_1 \circ fx = g_1fx = \sqrt{\frac{x-3}{x+2}}$ berlaku dan terdefinisi dengan baik jika $x$ berada di interval $-\infty, -2$ dan $[3, \infty$. Langkah 4 Kita lanjut dengan menyelidiki domain dari fungsi $g_2$. $\displaystyle g_2x = \frac{1-x}{x} = \frac{1}{x} - 1 ~\text{, untuk } x < 0$ Ajukan pertanyaan ini. Untuk $\alpha \in \text{Domain}f$ apa sajakah yang menyebabkan $f\alpha < 0$? Perhatikan bahwa syarat kondisi $f\alpha < 0$ adalah sesuai dengan syarat domain $g_2$ yaitu $x < 0$. Kita lihat lagi grafik fungsi $f$ ini. Perhatikan bagian kurva yang berwarna ungu. Dari bagian yang berwarna ungu di atas terlihat bahwa jika $\alpha$ berada di interval $-2, 3$ akan menyebabkan $f\alpha < 0$. Karena $\displaystyle fx = \frac{x-3}{x+2}$ bukan fungsi piecewise, maka dengan demikian, $\displaystyle g_2 \circ fx = g_2fx = \frac{1}{\left\frac{x-3}{x+2}\right} - 1 = \frac{5}{x-3}$ berlaku dan terdefinisi dengan baik jika $x$ berada di interval $-2, 3$. Langkah 7. Penyatuan Hasil. Dari Langkah 6 di atas kita mendapatkan hasil berikut. $\displaystyle g_1 \circ fx = g_1fx = \sqrt{\frac{x-3}{x+2}}$ berlaku dan terdefinisi dengan baik jika $x$ berada di interval $-\infty, -2$ dan $[3, \infty$. $\displaystyle g_2 \circ fx = g_2fx = \frac{1}{\left\frac{x-3}{x+2}\right} - 1 = \frac{5}{x-3}$ berlaku dan terdefinisi dengan baik jika $x$ berada di interval $-2, 3$. Dari hasil di atas, $g \circ f$ beserta domainnya dapat dibentuk sebagaimana berikut. $g\circ fx = \begin{cases} \displaystyle \sqrt{\frac{x-3}{x+2}} & \text{,untuk } x \in -\infty, -2 ~\text{ alias } x < -2 \\ \text{tidak terdefinisi} & \text{,untuk } x = -2 \\ & \\ \displaystyle \frac{5}{x-3} & \text{,untuk } x \in -2,3 ~\text{ alias } -2 < x < 3 \\ & \\ \displaystyle \sqrt{\frac{x-3}{x+2}} & \text{,untuk } x \in [3, \infty ~\text{ alias } x \geq 3 \end{cases}$

tentukan banyak fungsi yang mungkin